De l’utilité des suites arithmétiques dans le tricot

Vous avez toujours baîllé en cours de maths, en marmonnant que cette matière ne servait à rien ?
Que nenni. Ca sert.

Exemple appliqué au tricot. Plus précisément, au trendy châle.

Rappel du principe du trendy châle, pour celles qui auraient la flemme de cliquer sur le lien : on commence par tricoter trois mailles (premier rang). Puis, au deuxième rang, on fait une augmentation (c’est-à-dire qu’on ajoute une maille). Puis au troisième rang, on ajoute encore une maille. Etc …

Donc, si on appelle m(i) le nombre de maille au rang i, on a :

m(1) = 3
m(2) = m(1) + 1 = 4
…

m(i) = m(i-1) + 1 = m(1) + (i-1)

Bravo ! Vous avez reconnu une suite arithmétique !

Bon, oui, mais alors ?

Alors, sachant que j’ai monté 100 rangs avec une pelote de laine, et qu’il m’en reste trois autres, quelle taille va faire mon châle, à la fin ? Hein ? Est-ce que je peux dès maintenant divertir une pelote pour autre chose (au hasard, des choupinettes mitaines assorties), ou bien est-ce que j’aurai besoin de toutes les pelotes restantes pour qu’il soit assez grand ?

Partons du principe que chaque maille est régulière et “consomme” la même quantité de laine (hypothèse hautement irréaliste dans mon cas, mais passons).

Avec ma première pelote, j’ai fait : m(1) mailles au rang 1, puis m(2), puis m(3), puis … puis m(100).
Donc en tout, j’ai tricoté : m(1) + m(2) + m(3) + … + m(100)  mailles.

Soit, en notation mathématique :

C’est pas beau ?

En plus, ça tombe bien, le célèbre mathématicien Gauss a fait le calcul pour nous, et ça donne :

m(100)* (m(1)+m(100))/2.

Ici, m(100) est égal à 3+(100-1) donc 102, m(1) est égal à 3, ce qui donne : 5250  mailles (oui, moi aussi ça m’a impressionné …)

Donc avec ma première pelote, j’ai fait 5250 mailles. On peut donc supposer que j’en ferai autant avec les autres. Donc il faut déterminer jusqu’à quel rang p je peux aller à partir du rang 101, avec 5250 mailles. Donc, savoir quel est le rang de mailles p tel que :
m(101) + m(102) + … + m(p) = 5250 (bon, en vrai il y a peu de chance que je tombe pile, mais encore une fois on reste dans l’estimation).

En fait, Gauss, qui n’était pas la moitié d’un génie, nous souffle à l’oreille que la formule utilisée ci-dessus peut se généraliser :

m(k) + m(k+1) + … + m(p) = (p-k+1)(m(p)+m(k))/2

Et ce, quels que soient k et p.

Ici, k=101, m(k) = 103, p est inconnu, mais on sait que m(p) sera égal à m(1) + p – 1 = p + 2

Donc on veut p tel que :

(p – 101 + 1)( p + 2 + 103 )/2 = 5250

Ou alors :

(p-100)(p+105) = 10500

Si on développe tout, on obtient :

donc :

Oh, groooovy, une équation du second degré ! Les équations du second degré sont de la forme

avec x l’inconnue (c’est-à-dire la valeur recherchée, ici p), et a, b et c les coefficient, ici :  a=1, b=5 et c=-21000.

Les équations de ce genre ont généralement deux solutions. On les trouve en calculant d’abord la valeur

appelée “déterminant”, qui est ici de 289 et des brouettes : quelle chance, il est positif, ce qui veut dire qu’il y a des solutions réelles ! A partir du déterminant, on en déduit les deux solutions de l’équation (arrondies) qui sont égales à

soit dans le cas actuel environ 142 et environ -147. Evidemment, ici -147 ne veut rien dire, donc la solution est : avec ma seconde pelote, j’irai jusqu’au rang 142.
On fait pareil pour la troisième pelote en partant donc du rang 142+1 et on obtient comme point final : rang 174.
Sachant que les 100 rangs actuels font 33 centimètres, en faisant une règle de trois, avec 174 rangs on aura environ 57 cm (174 * 30 / 100). Un peu léger.

Donc il vaut mieux que je garde ma quatrième pelote, et que j’utilise une autre laine pour faire mes mitaines.

(Bien sûr, le simple bon sens vous aurait dit directement qu’on pouvait faire avec la deuxième pelote la moitié des rangs de la première, et ainsi de suite, mais c’est nettement moins marrant, non ? Non ? Eh bien moi ça m’a bien fait rire en tout cas).

Sur ce je vous quitte, j’ai un modèle Burda sur le feu, il est basé sur la théorie des cordes.

 

PS : comme ça fait … euh … longtemps que j’ai quitté les bancs de l’école, il y a peut-être des erreurs dans le raisonnement ci-dessus, hein, n’hésitez pas à me corriger si nécessaire !